Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Если точка С - центр окружности, R - ее радиус, а М - произвольная точка окружности, то по определению окружности

Равенство (1) есть уравнение окружности радиуса R с центром в точке С.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат (рис. 104) и точка С(а; b ) - центр окружности радиуса R. Пусть М(х; у ) - произвольная точка этой окружности.

Так как |СМ| = \(\sqrt{(x - a)^2 + (у - b)^2} \), то уравнение (1) можно записать так:

\(\sqrt{(x - a)^2 + (у - b)^2} \) = R

(x - a ) 2 + (у - b ) 2 = R 2 (2)

Уравнение (2) называют общим уравнением окружности или уравнением окружности радиуса R с центром в точке (а; b ). Например, уравнение

(x - l) 2 + (y + 3) 2 = 25

есть уравнение окружности радиуса R = 5 с центром в точке (1; -3).

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (2) принимает вид

x 2 + у 2 = R 2 . (3)

Уравнение (3) называют каноническим уравнением окружности .

Задача 1. Написать уравнение окружности радиуса R = 7 с центром в начале координат.

Непосредственной подстановкой значения радиуса в уравнение (3) получим

x 2 + у 2 = 49.

Задача 2. Написать уравнение окружности радиуса R = 9 с центром в точке С(3; -6).

Подставив значение координат точки С и значение радиуса в формулу (2), получим

(х - 3) 2 + (у - (-6)) 2 = 81 или (х - 3) 2 + (у + 6) 2 = 81.

Задача 3. Найти центр и радиус окружности

(х + 3) 2 + (у -5) 2 =100.

Сравнивая данное уравнение с общим уравнением окружности (2), видим, что а = -3, b = 5, R = 10. Следовательно, С(-3; 5), R = 10.

Задача 4. Доказать, что уравнение

x 2 + у 2 + 4х - 2y - 4 = 0

является уравнением окружности. Найти ее центр и радиус.

Преобразуем левую часть данного уравнения:

x 2 + 4х + 4- 4 + у 2 - 2у +1-1-4 = 0

(х + 2) 2 + (у - 1) 2 = 9.

Это уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в точке (-2; 1); радиус окружности равен 3.

Задача 5. Написать уравнение окружности с центром в точке С(-1; -1), касающейся прямой АВ, если A (2; -1), B(- 1; 3).

Напишем уравнение прямой АВ:

или 4х + 3y -5 = 0.

Так как окружность касается данной прямой, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой прямой. Для отыскания радиуса необходимо найти расстояние от точки С(-1; -1) - центра окружности до прямой 4х + 3y -5 = 0:

Напишем уравнение искомой окружности

(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность x 2 + у 2 = R 2 . Рассмотрим ее произвольную точку М(х; у ) (рис. 105).

Пусть радиус-вектор OM > точки М образует угол величины t с положительным направлением оси Ох , тогда абсцисса и ордината точки М изменяются в зависимости от t

(0 t х и у через t , находим

x = R cos t ; y = R sin t , 0 t

Уравнения (4) называются параметрическими уравнениями окружности с центром в начале координат .

Задача 6. Окружность задана уравнениями

x = \(\sqrt{3}\)cos t , y = \(\sqrt{3}\)sin t , 0 t

Записать каноническое уравнение этой окружности.

Из условия следует x 2 = 3 cos 2 t , у 2 = 3 sin 2 t . Складывая эти равенства почленно, получаем

x 2 + у 2 = 3(cos 2 t + sin 2 t )

или x 2 + у 2 = 3

Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Если координаты центра (а;b) , а координаты любой точки окружности (х; у) , то уравнение окружности имеет вид:

Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:

Примеры решения задач про уравнение окружности

Задача. Составить уравнение заданной окружности

Решение .
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x-a ) 2 + (y-b ) 2

Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3

Получаем:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
или
(x - 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

Решение .
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.

В уравнение (x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3

Проверим истинность полученного равенства
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно

Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.

Цель урока: ввести уравнение окружности, научить учащихся составлять уравнение окружности по готовому чертежу, строить окружность по заданному уравнению.

Оборудование : интерактивная доска.

План урока:

1. Организационный момент – 3 мин.
2. Повторение. Организация мыслительной деятельности – 7 мин.
3. Объяснение нового материала. Вывод уравнения окружности – 10 мин.
4. Закрепление изученного материала– 20 мин.
5. Итог урока – 5 мин.

Ход урока

2. Повторение:

− (Приложение1 Слайд 2 ) записать формулу нахождения координат середины отрезка;

− (Слайд 3) З аписать формулу расстояние между точками (длины отрезка).

3. Объяснение нового материала.

(Слайды 4 – 6) Дать определение уравнения окружности. Вывести уравнения окружности с центром в точке (а ;b ) и с центром в начале координат.

(х – а ) 2 + (у – b ) 2 = R 2 − уравнение окружности с центром С (а ;b ) , радиусом R , х и у – координаты произвольной точки окружности.

х 2 + у 2 = R 2 − уравнение окружности с центром в начале координат.

(Слайд 7)

Для того чтобы составить уравнение окружности, надо:

• знать координаты центра;
• знать длину радиуса;
• подставить координаты центра и длину радиуса в уравнение окружности.

4. Решение задач.

В задачах № 1 – № 6 составить уравнения окружности по готовым чертежам.

(Слайд 14)

№ 7. Заполнить таблицу.

(Слайд 15)

№ 8. Построить в тетради окружности, заданные уравнениями:

а) (х – 5) 2 + (у + 3) 2 = 36;
б ) (х + 1) 2 + (у – 7) 2 = 7 2 .

(Слайд 16)

№ 9. Найти координаты центра и длину радиуса, если АВ – диаметр окружности.

(Слайд 17)

№ 10. Составьте уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку К (-12;5).

Решение.

R 2 = ОК 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R = 13;

Уравнение окружности: х 2 + у 2 = 169.

(Слайд 18)

№ 11. Составьте уравнение окружности, проходящей через начало координат с центром в точке С (3; - 1).

Решение.

R 2 = ОС 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Уравнение окружности: (х – 3) 2 + (у + 1) 2 = 10.

(Слайд 19)

№ 12. Составьте уравнение окружности с центром А (3;2), проходящей через В (7;5).

Решение.

1. Центр окружности – А (3;2);
2. R = АВ ;
АВ 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; АВ = 5;
3. Уравнение окружности (х – 3) 2 + (у − 2) 2 = 25.

(Слайд 20)

№ 13. Проверьте, лежат ли точки А (1; -1), В (0;8), С (-3; -1) на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.

Решение.

I . Подставим координаты точки А (1; -1) в уравнение окружности:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 – равенство неверно, значит А (1; -1) не лежит на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.

II . Подставим координаты точки В (0;8) в уравнение окружности:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
В (0;8) лежит х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.

III. Подставим координаты точки С (-3; -1) в уравнение окружности:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 – равенство верно, значит С (-3; -1) лежит на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.

Итог урока.

1. Повторить: уравнение окружности, уравнение окружности с центром в начале координат.
2. (Слайд 21) Домашнее задание.

Построить функцию

Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos . Для ввода функций воспользуйтесь левой колонкой. Вводить можно вручную либо с помощью виртуальной клавиатуры внизу окна. Для увеличения окна с графиком можно скрыть как левую колонку, так и виртуальную клавиатуру.

Преимущества построения графиков онлайн

• Визуальное отображение вводимых функций
• Построение очень сложных графиков
• Построение графиков, заданных неявно (например эллипс x^2/9+y^2/16=1)
• Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете
• Управление масштабом, цветом линий
• Возможность построения графиков по точкам, использование констант
• Построение одновременно нескольких графиков функций
• Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ(\theta))

С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.