Закон сохранения количества движения

1. Если сумма всех внешних сил, действующих на механическую систему, равна нулю, то вектор количества движения системы есть величина постоянная по модулю и направлению .

Если, то, следовательно.

2. Если сумма проекций всех действующих сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная .

Если, то, следовательно.

Лекция 11
ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ (кинетический момент) системы
относительно центра и оси

Понятие о моменте количества движения точки.
Теорема об изменении момента количества движения точки.
Кинетический момент. Теорема об изменении кинетического
момента системы при ее движении по отношению к центру масс

Моментом количества движения точки относительно некоторого центра О называется векторная величина, определяемая равенством:

где – радиус-вектор движущейся точки. Вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через и центр О , а модуль равен,

где h – кратчайшее расстояние от центра до линии действия вектора скорости.

Момент количества движения (МКД) точки относительно какой-либо оси Оz , проходящей через центр О, равен проекции вектора на эту плоскость :

Продифференцируем обе части уравнения (1). Для правой части

Выражение как векторное произведение двух параллельных векторов. Учитывая, что – момент силы относительно центра 0 , получим:

Теорема об изменении момента количества движения точки. Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра .

Из равенства следует, что если, то.

Если момент действующих сил относительно некоторого центра равен нулю, то момент количества движения точки относительно этого центра есть величина постоянная .

Такое возможно в двух случаях: либо, либо плечо равно нулю, тогда эта сила будет называться центральной , т.е. линия ее действия проходит все время через данный центр О (например, сила притяжения планет к Солнцу, сила натяжения нити при кордовой модели).

Главным моментом количеств движения (или кинетическим моментом) системы относительно данного центра О называется векторная величина, равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра:

Аналогично определяются моменты количеств движения (МКД) относительно координатных осей:

В предыдущей лекции отмечалось, что количество движения можно рассматривать как характеристику поступательного движения . Ниже покажем, что главный МКД системы может рассматриваться как характеристика вращательного движения .

Посмотрим теперь, что получается в случае большого количества частиц, т. е. когда тело состоит из множества частичек со множеством сил, действующих между ними и извне. Разумеется, мы уже знаем, что момент силы, действующий на любую i -ю частицу (т. е. произведение силы, . действующей на i -ю частицу, на ее плечо), равен скорости изменения момента количества движения этой частицы, а момент количества движения i -й частицы в свою очередь равен произведению импульса частицы на его плечо. Допустим теперь, что мы сложили моменты сил τ i всех частиц и назвали это полным моментом сил τ . Эта величина должна быть равна скорости изменения суммы моментов количества движения всех частиц L i . Эту сумму можно принять за определение новой величины, которую мы назовем полным моментом количества движения L . Точно так же, как импульс тела равен сумме импульсов составляющих его частиц, момент количества движения тела тоже равен сумме моментов составляющих его частиц. Таким образом, скорость изменения полного момента количества движения L равна полному моменту сил

С непривычки может показаться, что полный момент сил - ужасно сложная штука. Ведь нужно учитывать все внутренние и внешние силы. Однако если мы вспомним, что по закон Ньютона силы действия и противодействия не только равны, но и (что особенно важно!) действуют по одной и той же прямой в противоположных направлениях (неважно, говорил ли об этом сам Ньютон или нет, неявно он подразумевал это), то два момента внутренних сил между двумя взаимодействующими частицами должны быть равны друг другу и направлены противоположно, поскольку для любой оси плечи их будут одинаковы. Поэтому все внутренние моменты сил взаимно сокращаются и получается замечательная теорема: скорость изменения момента количества движения относительно любой оси равна моменту внешних сил относительно этой же оси!

Итак, мы получили в руки мощную теорему о движении большого коллектива частиц, которая позволяет нам изучать общие свойства движения, не зная деталей его внутреннего механизма. Эта теорема верна для любого набора частиц, независимо от того, образуют ли они твердое тело или нет.
Особенно важным частным случаем этой теоремы является закон сохранения момента количества движения, который гласит: если на систему частиц не действуют никакие внешние моменты сил, то ее момент количества движения остается постоянным.
Рассмотрим один очень важный частный случай набора частиц, когда они образуют твердое тело, т. е. объект, который всегда имеет определенную форму и геометрический размер, и может только крутиться вокруг какой-то оси. Любая часть такого объекта в любой момент времени расположена

одинаковым образом относительно других его частей. Попытаемся теперь найти полный момент количества движения твердого тела. Если масса i-й частицы его равна m i , а положение ее (x i , y i), то задача сводится к определению момента количества движения этой частицы, поскольку полный момент количества движения равен сумме моментов количества движения всех таких частиц, образующих тело. Для движущейся по окружности точки момент количества движения равен, конечно, произведению ее массы на скорость и на расстояние до оси вращения, а скорость в свою очередь равна угл овой скорости, умноженной на расстояние до оси:

Суммируя L i для всех частиц, получаем

Это выражение очень похоже на формулу для импульса, который равен произведению массы на скорость. Скорость при этом заменяется на угловую скорость, а масса, как видите, заменяется на некоторую новую величину, называемую моментом инерции I. Вот что играет роль массы при вращении! Уравнения (18.21) и (18.22) говорят нам, что инерция вращения тела зависит не только от масс составляющих его частичек, но и от того, насколько далеко расположены они от оси. Так что ёсли мы имеем два тела равной массы, но в одном из них массы расположены дальш е от оси, то его инерция вращения будет больше. Это легко продемонстрировать на устройстве, изображенном на фиг. 18.4. Масса М в этом устройстве не может падать слишком быстро, потому что она должна крутить тяжелый стержень. Расположим сначала массы m около оси вращения, причем грузик М будет как-то уско ряться. Однако после того, как мы изменим момент инерции, расположив массы m гораздо дальше от оси, мы увидим, что грузик М ускоряется гораздо медленнее, чем прежде. Происходит это вследствие возрастания инертности вращения, которая составляет физический смысл момента инерции- суммы произведений всех масс на квадраты их расстояний от оси вращения.
Между массой и моментом инерции имеется существенная разница, которая проявляется удивительным образом. Дело в том, что масса объекта обычно не изменяется, тогда как момент инерции легко изменить. Представьте себе, что вы встали на стол, который может вращаться без трения, и держите в вытянутых руках гантели, а сами медленно вращаетесь. Можно легко изменить момент инерции, согнув руки; при этом наша масса останется той же самой. Когда мы проделаем все это, то закон сохранения момента количества движения будет творить чудеса, произойдет нечто удивительное. Если моменты внешних сил равны нулю, то момент количества движения равен моменту инерции I 1 умноженному на угловую скорость ω 1 , т. е. ваш момент количества движения равен I 1 ω 1 . Согнув затем руки, вы тем самым уменьшили момент инерции до величины I 2 . Но поскольку из-за закона сохранения момента количества движения произведение I ω должно остаться тем же самым, то I 1 ω 1 должно быть равно I 2 ω 2 . Так что если вы уменьшили момент инерции, то ваша угловая скорость в результате этого должна возрасти.

Обратимся к основному уравнению динамики вращательного движения

и рассмотрим частный случай, когда на тело либо вовсе не действуют внешние силы, либо они таковы, что их равнодействующая не дает момента относительно оси вращения Тогда

Но если изменение величины равно нулю, то, следовательно, сама величина остается постоянной:

Рис. 66. Сальто-мортале.

Итак, если на тело не действуют внешние силы (или результирующий момент их относительно оси вращения равен нулю), то момент количества движения тела относительно оси вращения остается неизменным. Этот закон носит название закона сохранения момента количества движения относительно оси вращения

Приведем несколько примерев, иллюстрирующих закон сохранения момента количества движения.

Гимнаст во время прыжка через голову (рис. 66) поджимает к туловищу руки и ноги. Этим он уменьшает свой момент инерции,

а так как произведение должно оставаться неизменным, то угловая скорость вращения возрастает, и в краткий промежуток времени, пока гимнаст находится в воздухе, он успевает сделать полный оборот.

Шарик привязан к нити, наматываемой на палку; по мере того как уменьшается длина нити, уменьшается момент инерции шарика и, следовательно, возрастает угловая скорость.

Рис. 67 Вращение человека, стоящего на скамье Жуковского. ускорится, если он опустит руки и замедлится если он их поднимет.

Рис. 68. Если мы поднимем велосипедное колесо над головой и приведем его во вращение, то сами вместе с платформой начнем вращаться в противоположную сторону.

Ряд интересных опытов можно проделать, встав на платформу, вращающуюся на шарикоподшипнике (скамья Жуковского). На рис. 67 и 68 изображены некоторые из этих опытов.

Сопоставляя уравнения, выведенные в последних параграфах, с законами прямолинейного поступательного движения, легко заметить, что формулы, определяющие вращательное движение около неподвижной оси, аналогичны формулам для прямолинейного поступательного движения.

В следующей таблице сопоставлены основные величины и уравнения, определяющие эти движения:

(см. скан)

Гироскопы. Реактивный гироскопический эффект. Твердое тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг оси полной симметрии (свободной оси), называют гироскопом. По закону сохранения вектора момента количества движения гироскоп стремится сохранить направление своей оси вращения неизменным в пространстве и проявляет тем большую устойчивость (т. е. оказывает тем большее сопротивление повороту оси вращения), чем больше его момент инерции и чем больше угловая скорость вращения.

Когда мы, удерживая на вытянутых руках какое-либо массивное неподвижное тело, сообщаем ему движение, например слева направо, то развиваемая телом сила инерции двигает нас в противоположном направлении. Проявление сил инерции вращающегося гироскопа, когда мы поворачиваем его ось вращения, оказывается более сложным и на первый взгляд неожиданным. Так, если мы, удерживая в руках горизонтально направленную ось вращения гироскопа, станем один конец оси приподнимать, а другой опускать, т. е. поворачивать ось в вертикальной плоскости, то почувствуем, что ось оказывает давление на руки не в вертикальной, а в горизонтальной плоскости, прижимая одну нашу руку и оттягивая другую. Если при рассматривании справа вращение гироскопа видно происходящим по движению часовой стрелки (т. е. момент количества движения гироскопа направлен горизонтально налево), то попытка поднять левый конец оси, опуская вниз правый, вызывает движение левого конца оси в горизонтальной плоскости от нас, а правого - на нас.

Такая реакция гироскопа (так называемый гироскопический эффект) объясняется стремлением гироскопа сохранить неизменным свой момент количества движения и притом сохранить его неизменным не только по величине, но и по направлению. Действительно, чтобы при описанном выше повороте оси вращения гироскопа в вертикальной плоскости на угол а (рис 69) момент количества движения геометрически оставался неизменным, гироскоп должен приобрести дополнительное вращение вокруг вертикальной оси с моментом количества движения таким, что геометрически

По указанной причине вращающийся гироскоп, уравновешенный на подвижной оси гирей (рис. 70), приобретает дополнительно

вращение вокруг вертикальной оси, если гирю, уравновешивавшую гироскоп, немного отодвинуть от точки опоры оси (перевешивая, гиря сообщает оси некоторый наклон, что и вызывает обращение оси гироскопа вокруг точки опоры в направлении, которое соответствует направлению вектора на рис. 69).

По той же причине ось волчка приобретает вследствие опрокидывающего действия силы тяжести круговое движение, которое называют прецессией (рис. 71).

Итак, если к вращающемуся гироскопу приложить пару сил, стремящуюся повернуть его около оси, перпендикулярной к оси вращения, то гироскоп действительно станет поворачиваться, но только вокруг третьей оси, перпендикулярной к первым двум. Чтобы повернуть вращающийся гироскоп (например, в направлении как показано на рис. 72), нужно к оси гироскопа приложить вращающий момент в плоскости, перпендикулярной к направлению поворота.

Рис. 71. Схема движения волчка.

Более детальный анализ явлений, аналогичных описанным выше, показывает, что гироскоп стремится расположить ось своего вращения таким образом, чтобы она образовала возможно меньший угол с осью вынуждаемого вращения и чтобы оба вращения совершались в одном и том же направлении.

Это свойство гироскопа используется в гироскопическом компасе, получившем широкое распространение в особенности в военном флоте. Гирокомпас представляет собой быстро вращающийся волчок (мотор трехфазного тока, делающий до 25 000 об/мин), который на особом поплавке плавает в сосуде со ртутью и ось которого устанавливается в плоскости меридиана. В данном случае источником внешнего вращающего момента является суточное вращение Земли вокруг ее оси. Под его действием ось вращения гироскопа стремится совпасть по направлению с осью вращения Земли, а так как вращение Земли действует на гироскоп непрерывно, то ось гироскопа, наконец, и принимает это положение, т. е. устанавливается вдоль меридиана, и продолжает в нем оставаться совершенно так же, как обычная магнитная стрелка.

Гироскопы часто применяют в качестве стабилизаторов. Их устанавливают для уменьшения качки на океанских пароходах.

Были сконструированы также стабилизаторы для однорельсовых железных дорог; массивный быстро вращающийся гироскоп, помещаемый внутри вагона однорельсовой дороги, препятствует опрокидыванию вагона. Роторы для гироскопических стабилизаторов изготовляют весом от 1 до 100 и более тонн.

В торпедах гироскопические приборы, автоматически действуя на рулевое управление, обеспечивают прямолинейность движения торпеды в направлении выстрела.

Рис. 73. Прецессия земной оси.

Суточное вращение Земли делает ее подобной гироскопу. Так как Земля представляет собой не шар, а фигуру, близкую к эллипсоиду, то притяжение Солнца создает равнодействующую, не проходящую через центр масс Земли (как было бы в случае шара). Вследствие этого возникает вращающий момент, который стремится повернуть ось вращения Земли перпендикулярно к плоскости ее орбиты (рис. 73). В связи с этим земная ось испытывает прецессионное движение (с полным оборотом примерно за 25 800 лет).

Законы сохранения кинетической энергии и количества движения долго конкурировали друг с другом, претендуя на ведущую роль, поскольку ни тот, ни другой закон не имеет строгого обоснования. Однако, ученые давно подозревали о наличии связи между ними, о чем говорил еще Х.Гюйгенс (1629-1695). По мнению Гюйгенса эта связь означает, что сохранение механической энергии в любой равномерно движущейся системе влечет за собой и сохранение количества движения. Поэтому после длительных споров ученые пришли к заключению об эквивалентности этих законов. Так, например, Даламбер по этому поводу сделал следующее заявление : “Нужно каждому предоставить свободу решать данный вопрос по его усмотрению. К тому же затронутый вопрос представляет собой не более как совершенно бесплодный метафизический спор о словах, недостойный внимания философов”.
Связь между законами сохранения кинетической энергии и количества движения была установлена В. Паули (1900-1958). Для доказательства этой связи он использует идею Гюйгенса. Цитируем по : “В системе, состоящей из соударяющихся частиц с массами скорости частиц переходят после ударов в скорости . Сохранение энергии выражается уравнением:

Пусть система приобретает добавочную скорость V . Скорости частиц до удара будут теперь равны , а после удара , и сохранение энергии выражается теперь соотношением:
,

Следовательно:

Скорость V - произвольна, поэтому написанное равенство будет справедливо только в том случае, когда:

Иначе говоря, импульс системы до соударения частиц, равный выражению, стоящему слева, сохраняется после соударения”.
Мы тоже рассмотрим этот вопрос в виду его особой важности на примере соударения шаров, но в несколько другой интерпретации (рис.1).
Пусть движение шаров происходит в произвольной инерциальной системе отсчета x- y в одном и том же направлении (рис.1,а) со скоростями и . После удара скорости шаров примут значения и . В соответствии с законом сохранения энергии будет справедливо следующее выражение:
, (1)

Теперь рассмотрим относительное движение, приняв один из шаров за систему отсчета. Для этого используем принцип обращения движения, то есть сообщим обоим шарам одну и ту же скорость, например, , что приведет к остановке первого шара, так как его суммарная скорость будет равна нулю. Скорость же второго шара будет равна относительной скорости:
(2)
Закон сохранения кинетической энергии в этом случае примет вид:
(3)

(4)
Решая совместно уравнения (1) и (4) , получим выражение:
, (5)

(7)
Таким образом, получается интересный результат: из закона сохранения энергии вытекает закон сохранения количества движения. Еще следует отметить, что полученный результат не зависит от выбора системы отсчета.
Если же рассматривать встречное движение шаров (рис.1,б), то для получения правильного результата скорость следует вычитать из скорости , то есть относительную скорость следует находить в соответствии с выражением (2), хотя, как видно из рисунка, эти скорости должны складываться. Это обстоятельство обусловлено тем, что скорости движения всех тел являются векторами, а это значит, что и при вычитании их величины могут суммироваться.
Таким образом, выражения (2), (5) и (7) следует рассматривать как векторные.
Решая совместно выражения (1) и (5), а также (3) и (7), найдем скорости шаров после удара, считая их векторами:
; (8)
; (9)
; (10)
(11)
Используя эти выражения, найдем относительные скорости шаров после удара:
; (12)
(13)
Таким образом, при упругом ударе относительные скорости шаров изменят только свое направление.
Выражение (1), характеризующее закон сохранения энергии, можно представить в другом виде:
(14)

; (15)
, (16)

; (17)
, (18)

• откуда следует, что энергия, приобретенная первым шаром, равна энергии, отданной вторым шаром.

Подставив значения скоростей и в выражения (7) и (8), получим:
; (19)
(20)
Посмотрим теперь, как будет выполняться связь между законами сохранения энергии и количества движения для более сложного случая удара – косого удара, когда скорости движущихся шаров направлены под углом друг к другу (рис.2). На рисунке шары разъединены для лучшего показа их картин скоростей. Принимаем, что скорость совпадает с направлением оси x .
Для решения задачи используем метод обращения движения, сообщив обоим шарам скорость , то есть в качестве системы отсчета в относительном движении выбираем первый шар, суммарная скорость которого будет равна нулю. Примем также для упрощения задачи, что результирующая скорость будет направлена по линии, соединяющей центры шаров. Тогда по известным значениям скоростей и для второго шара строится параллелограмм, с помощью которого устанавливается связь между этими скоростями и скоростью в относительном движении, а также может быть найден угол , так как угол задан.
Используя параллелограмм, с помощью теоремы косинусов получим выражение:
(21)

• которое преобразуем к виду:

(22)
Из данного уравнения находим скорость в относительном движении до начала удара – :
(23)
Угол , характеризующий направление вектора , находим из выражения, полученного с помощью теоремы косинусов:
, (24)

• откуда получим:

(25)
Таким образом, в результате проделанных операций получаем обычное соударение подвижного и неподвижного шаров по направлению линии их центров с начальной относительной скоростью .
Прежде чем определять скорости шаров после их соударения, установим связь между кинетическими энергиями шаров в абсолютном и в относительном движениях::
; (26)
(27)
Так как
(28)

• соответственно будут определяться и другие скорости в относительном движении:

; (29)
(30)
Подставив эти значения относительных скоростей в выражение (27), получим:
(31)
Сократив на два и возведя в квадрат разности скоростей, преобразуем выражение (31) к виду:
, (32)

Добавив в первое слагаемое правой части выражения и можно исключить члены, соответствующие выражению (26), в результате чего выражение (32) примет вид:
(33)
Сократив это выражение на и сделав группировку членов, получим:
(34)
Определив скорости , и в соответствии с выражениями (28) – (32):
(35)

• и подставив их в выражение (34), преобразуем его к виду:

(36)
Таким образом, мы установили связь между законами сохранения энергии и количества движения в абсолютном и в относительном движениях шаров при косом ударе.
Решая совместно уравнения (27) и (36), найдем скорости шаров в их относительном движении:
; (37)
, (38)

При решении уравнений для получения решения в векторной форме квадраты скоростей следует представлять как скалярное произведение двух одинаковых векторов .
Скорости шаров и в абсолютном движении могут быть найдены с помощью теоремы косинусов из параллелограммов, представленных на рис.2.
Для первого шара модуль скорости определится выражением:
, (39)

• откуда получим:

(40)
Для второго шара модуль скорости будет равен:
, (41)

• откуда найдем:

(42)
Углы и , характеризующие направления векторов и по отношению к векторам и , также находим с помощью теоремы косинусов:
; (43)
(44)
Подставляя в эти выражения значения скоростей и из формул (39) и (41), получим:
; (45)
(46)
Для проверки полученных решений можно найти значения кинетической энергии шаров после удара, так как до удара их энергия была равна:
, (47)

• а после удара будет:

(48)
Подставив в выражение (48) значения квадратов скоростей и из выражений (39) и (41), получим:
(49)
Теперь используем значения модулей скоростей и из выражений (37) и (38):
(50)
Подставляя в данное выражение значение модуля скорости в соответствии с формулой (23) и произведя преобразования, получим в итоге, что , то есть закон сохранения энергии будет выполняться.
Рассмотрим теперь неупругий удар двух шаров. В этом случае часть энергии будет затрачена на структурные изменения (неупругие деформации в шарах) и на их нагрев, то есть изменение внутренней энергии. Поэтому выражения законов сохранения энергии в двух системах отсчета примут вид:
; (51)
(52)

Решая совместно данную систему уравнений, получим закон сохранения количества движения в обычном его виде:
, (53)

• то есть потери энергии при взаимодействии тел не оказывают влияния на вид этого закона.

Используя уравнения (51) и (53), найдем скорости шаров после их неупругого столкновения:
; (54)
(55)
Очевидно, выражения (54) и (55) будут иметь физический смысл только при положительном значении подкоренного выражения. Из этого условия можно найти значение , при котором еще будет выполняться закон сохранения количества движения, приравняв подкоренное выражение нулю:
(56)

, (57)

(58)
Выражения (54) и (56) с учетом формулы (57) можно представить в виде:
; (59)
, (60)

(61)
В относительном движении выражения для скоростей примут вид:
; (62)
(63)
Из приведенных выражений следует, что при скорости шаров будут равны и они будут двигаться вместе как одно целое.
Если же коэффициент будет больше единицы, то подкоренное выражение будет отрицательным и выражения для скоростей потеряют физический смысл. Так как при шары будут двигаться как одно целое, для определения скорости их движения достаточно одного уравнения. При еще можно использовать закон сохранения количества движения, при следует использовать только закон сохранения энергии, хотя в математическом отношении закон сохранения количества движения будет выполняться и в этом случае. Таким образом, закон сохранения количества движения имеет пределы его использования. Это еще раз подтверждает приоритетную роль закона сохранения энергии по отношению к закону сохранения количества движения. Однако в принципе, возможно, что значения коэффициента не могут быть больше единицы, тогда оба закона будут справедливы всегда, но это утверждение требует экспериментальной проверки.
Так как шары при будут двигаться как единое целое с одной и той же скоростью закон сохранения энергии примет вид:
, (64)

• где, в соответствии с выражением (61),

(65)
Решая уравнение (64), получим:
(66)

• или в относительном движении:

(67)
Если вся энергия удара будет затрачена на потери, то есть когда будет выполняться соотношение:
, (68)

(69)
Правда, остаются сомнения, возможен ли такой случай в действительности.
В §5 первой главы было показано, что количество движения характеризует инертность тела и определяется отношением , то есть отношением изменения кинетической энергии тела и изменению его скорости. В связи с таким определением инертности тела можно дать другой вывод закона сохранения количества движения. Для этого используем выражения (15), (17) и (18), поделив их на изменение скорости первого тела: :
(70)
Полученное выражение преобразуем к виду:
(71)
Используя соотношение скоростей (12) в виде:
, (72)

• преобразуем выражение (71) к виду:

(73)

• откуда вытекает закон сохранения количества движения:

Законы сохранения энергии и количества движения широко применяется при решении различных задач механики. Однако, в виду того, что эти законы являются интегральными, так как учитывают состояния тел только до и после их взаимодействия, но не в момент самого взаимодействия, существует опасность утраты физического смысла самого взаимодействия, уход от объяснения этого физического смысла в связи с отсутствием его понимания, хотя конечный результат будет и правильным.
Докажем это утверждение на примере движения лодки, когда находящийся в ней человек бросит камень в воду (рис.3). Несомненно, что лодка будет двигаться в сторону, противоположную броску. Для решения задачи используется закон сохранения количества движения, который с учетом направления скоростей будет иметь вид:
, (74)

, (75)

• то есть, чем больше будет масса камня и его скорость, тем больше будет скорость лодки.

Если спросить преподавателей механики, какая причина заставляет двигаться лодку, то большинство из них ответит, что лодка будет двигаться потому, что должен выполняться закон сохранения количества движения. Такой ответ они дают потому, что не могут объяснить действительную причину движения, хотя прекрасно знают, что движение может происходить только под действием силы. Так какая же сила будет заставлять двигаться лодку?
Очевидно, здесь надо разобраться с взаимодействием рук человека и камня в момент бросания. Единственной причиной появления силы, действующей на человека, а через него и на лодку, является воздействие со стороны камня. Эта сила появится в том случае, если камень в момент броска будет двигаться ускоренно. Тогда он будет деформироваться и в нем возникнут упругие силы, которые и будут действовать на руки человека. Эти силы, как мы уже знаем, являются силами инерции и величина их будет равна произведению массы камня на его ускорение. Можно также сказать, что человек отталкивается от камня. Однако решить эту задачу с помощью второго закона Ньютона практически невозможно, так как мы не сможем найти ускорение движения камня в момент броска. Скорость его движения в первые моменты движения найти гораздо проще. Так что использование интегральных законов движения существенно упрощает решение многих задач механики. Правда, при этом не следует забывать и о физической сущности рассматриваемых явлений. В этом случае еще ярче раскроется математическая мощность интегральных законов сохранения.
Теперь рассмотрим более сложную задачу о дви­жении тележки, на которой расположены два груза, вращающиеся в разные стороны с одной и той же угловой скоростью (рис.4). Эта задача также решается с помощью закона сохранения количества движения:
, (76)

Из выражения (76) следует:
, (77)

• то есть тележка будет совершать гармонические колебания. Но какова же причина этих колебаний? Нельзя же утверждать, что тележка подчиняется закону сохранения количества движения. Колебаться тележку должна заставить сила, но какая? Единственным претендентом на эту роль может быть только центробежная сила инерции, действующая на вращающиеся грузы:

(78)
Под действием двух сил инерции тележка будет двигаться вдоль оси y . Характер движения тележки можно найти с помощью второго закона Ньютона:
(79)
Скорость движения тележки определится интегрированием данного выражения:
, (80)

• где С – постоянная интегрирования.

Для определения скорости движения тележки необходимо использовать начальные условия. Однако здесь возникает проблема: чему же будет равна скорость тележки при ? Предположим, что в начальный момент времени незакрепленная тележка и грузы были неподвижны, а затем грузы были приведены во вращение сразу же с постоянной угловой скоростью, то есть переходный режим движения будет отсутствовать. Таким образом, величина сил инерции сразу же примет конечное значение, определяемое выражением (78). Под действием сил инерции тележка должна была бы двигаться сразу в положительном направлении. Однако, надо иметь в виду, что при мгновенном появлении скорости движения грузов, появится теоретически бесконечное, а практически очень большое ускорение в направлении оси y , если грузы были расположены вдоль оси x , и соответствующая ему сила инерции в противоположном направлении, которая и заставит тележку двигаться в сторону ее действия в отрицательном направлении оси y , то есть фактически будет иметь место удар по тележке.
Примем, что начальная скорость тележки будет равна , тогда из уравнения (80) получим:
,

• откуда найдем постоянную интегрирования С :

(81)
В соответствии с этим скорость тележки будет:
(82)
Проинтегрировав это выражение, найдем перемещение тележки вдоль оси y :
(83)
При заданных условиях движение тележки будет гармоническим, поэтому выражение в круглых скобках должно равняться нулю. Тогда закон движения тележки примет вид:
, (84)

(85)
Тогда скорость движения тележки в функции угла поворота определится из выражения (80):
,

• что соответствует выражению (77).

Однако возможно и второе решение этой задачи, если считать, что сначала тележка закреплена, а грузы вращаются с постоянной скоростью . Затем, когда грузы займут положение вдоль оси x , тележка освобождается. При таких условиях силы инерции в направлении оси y будут отсутствовать, так как величина скорости вращения грузов изменяться не будет, поэтому не будет и удара по тележке в отрицательном направлении оси y и ее начальная скорость будет равна нулю. Тогда из уравнения (80) следует, что постоянная интегрирования С будет равна:
, (86)

• в связи с чем скорость тележки в функции времени будет иметь вид:

(87)
Интегрируя это выражение по времени, найдем перемещение тележки вдоль оси y:
(88)

, (89)

; (90)
(91)
Таким образом, периодически изменяющаяся проекция сил инерции грузов на ось y заставляет совершать тележку гармонические колебания и даже двигаться вдоль оси y в зависимости от начальных условий движения. Незакрепленная тележка будет совершать только гармонические колебания, а закрепленная и затем освобожденная тележка при будет совершать прямолинейное движение, на которое будет накладываться гармонические колебания.
Проведенный нами анализ был бы невозможен без учета действующих на тележку сил, каковыми являются в данном случае силы инерции. Если же движение тележки объяснять необходимостью выполнения закона сохранения количества движения, то это значит ничего не сказать по существу дела. Поэтому использование законов сохранения целесообразно совмещать с подробным силовым анализом рассматриваемой задачи.